微积分填空题5题，要求有过程

1
lim<x→0>(1-5x)^(1/x)
=lim<x→0>{[(1-5x)^(1/-5x)]^(-5x)}(1/x)
=lim<x→0>[e^(-5x)]^(1/x)
=e^(-5)
=1/e^5
因为：lim<t→0>(1+t)^(1/t)=e

2.
f(x)=ln[1+e^(x^2)]
所以：
f'(x)=[1/(1+e^(x^2))]*[e^(x^2)]'
=[1/(1+e^(x^2))]*[e^(x^2)]*(x^2)'
=[1/(1+e^(x^2))]*[e^(x^2)]*(2x)
=[2x*e^(x^2)]/[1+e^(x^2)]

3.
dy/dx=(dy/dt)*(dt/dx)
=(2t+3)*(dt/dx)…………………………………………（1）
因为：x=t^3-1
所以：t^3=x+1
所以，t=(x+1)^(1/3)
所以，dt/dx=(1/3)*(x+1)^(-2/3)
=(1/3)*(t^3)^(-2/3)
=(1/3)*t^(-2)
=1/(3t^2)
所以，dy/dx=(2t+3)*[1/(3t^2)]=(2t+3)/(3t^2)

或者，x=t^3-1
则，t^3=x+1
那么，两边对x求导，就有：
3t^2*(dt/dx)=1
所以，dt/dx=(1/3t^2)
再代入(1)，就有：
dy/dx=(dy/dt)*(dt/dx)=(2t+3)*(1/3t^2)=(2t+3)/(3t^2)

4.
已知f(x)有一个原函数为sinx
所以，f(x)=(sinx)'=cosx
所以，f'(x)=(cosx)'=-sinx

5.
是在看不清积分的上下限，只帮你求出不定积分的形式，你再将积分上下限代入就可以得到结果
∫(x^3*cosx+2)dx=∫(x^3cosx)dx+∫2dx
=2x+∫(x^3cosx)dx=2x+∫x^3d(sinx)
=2x+[x^3*sinx-∫sinxd(x^3)]
=2x+[x^3*sinx-3∫x^2*sinxdx]
=2x+x^3*sinx+3∫x^2*d(cosx)
=2x+x^3*sinx+3[x^2*cosx-∫cosxd(x^2)]
=2x+x^3*sinx+3x^2*cosx-6∫xcosxdx
=2x+x^3*sinx+3x^2*cosx-6∫xd(sinx)
=2x+x^3*sinx+3x^2*cosx-6[x*sinx-∫sinxdx]
=2x+x^3*sinx+3x^2*cosx-6x*sinx-6cosx+C

积分上下限为1，-1
则：
原式=(2+sin1+3cos1-6sin1-6cos1)-[(-2)-sin(-1)+3cos(-1)-6(-1)sin(-1)-6cos(-1)]
=(2-5sin1-3cos1)-(-2+sin1+3cos1-6sin1-6cos1)
=(2-5sin1-3cos1)-(-2-5sin1-3cos1)
=2-5sin1-3cos1+2+5sin1+3cos1
=4