问题: 一道初中几何极值题
已知三角形ABC的三边AB=6,BC=14,CA=10.O是三角形ABC内部一点[包括边与顶点上]
求 M=AO+BO+CO的最大值与最小值.
解答:
解 因为AB=6,BC=14,CA=10.由余弦定理可求得:
cosA=(6^2+10^2-14^2)/(2*6*10)=-1/2.
所以A=120°.
下面来证明 16≤M=AO+BO+CO≤24.
以BC为边,向三角形ABC外作正三角形BCD,连AD,OD.
∵∠BAC=120°,∴A点在正三角形BCD的外接圆上.
由托勒密定理得:AD=AB+AC,OD≤BO+CO.
在三角形AOD中,AO+OD≥AD.
∴M=AO+BO+CO≥AO+DO≥AD=AB+AC=16.
∵BC>CA>AB,过O点作以A,B为焦点的椭圆,与AC,BC分别交于E,F点,则有
CO≤max(CE,CF)
不妨设CE≥CF,则CO≤CE.
∵AO+BO=AE+BE=AF+BF
∴AO+BO+CO=AE+BE+CO≤AE+BE+CE=AC+BE≤AC+BC=10+14=24.
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