已知三角形ABC的三边AB=6,BC=14,CA=10.O是三角形ABC内部一点[包括边与顶点上]
求M=AO+BO+CO的最大值与最小值.

解 因为AB=6,BC=14,CA=10.由余弦定理可求得:
cosA=(6^2+10^2-14^2)/(2*6*10)=-1/2.
所以A=120°.
下面来证明 16≤M=AO+BO+CO≤24.
延长CA至E,使得AE=AB,连BE,OE.
那么三角形AEB是正三角形.
在凸四边形AEBO中,据托勒密不等式:
AE*BO+BE*AO≥AB*OE
故得 AO+BO≥OE. (1)
当∠AOB=120°时,取等号
在三角形COE中,有
CO+OE≥CE=CA+AE=CA+AB. (2)
当O点在线段AC上时,取等号
因此 M=AO+BO+CO≥OE+CO≥CA+AB=6+10=16.
综合(1)式和(2)式的取等条件得:当O点与A点重合时,M=16.

过O点作直线分别交AB,AC于E,F,则由分点公式
AO→=xAE→+yAF→, 0≤x,y≤1,x+y=1.(→表示向量)
取模得 AO≤xAE+yAF
同样可得 BO≤xBE+yBF; CO≤xCE+yCF
三式相加得
AO+BO+CO≤x(AE+BE+CE)+y(AF+BF+CF)
不妨设AE+BE+CE≥AF+BF+CF,所以
AO+BO+CO≤AE+BE+CE
∵AE+BE+CE≤max(AA+AC+AB,BB+AB+BC)=max(AC+AB,AB+BC)
同样AF+BF+CF≤max(AA+AC+AB,CB+AC+CC)=max(AC+AB,AC+BC)
因此有
AO+BO+CO≤max(AB+BC,BC+CA,CA+AB)=10+14=24.
当O点与C点重合时,M=24.