是否存在锐角θ和φ,使θ+2φ=2/3*π和tanφ=(2-√3)*[1/(tan0.5θ)]同时成立?若存在,求锐角θ与φ的值;若不存在,说明原因.

是否存在锐角θ和φ,使θ+2φ=2/3*π和tanφ=(2-√3)*[1/(tan0.5θ)]同时成立?若存在,求锐角θ与φ的值;若不存在,说明原因.

由θ+2φ=2/3*π得到：φ=(π/3)-(θ/2)
所以，tanφ=[tan(π/3)-tan(θ/2)]/[1+tan(π/3)*tan(θ/2)]
=[(√3)-tan(θ/2)]/[1+(√3)*tan(θ/2)]
=(2-√3)/tan(θ/2)
√3tan(θ/2)-tan^2(θ/2)=(2-√3)+(2√3-3)tan(θ/2)
tan^2(θ/2)+(√3-3)tan(θ/2)+(2-√3)=0
[tan(θ/2)-1]*[tan(θ/2)-(2-√3)]=0
所以，tan(θ/2)=1，或者tan(θ/2)=2-√3
当tan(θ/2)=1时，θ/2=π/4
所以，θ=π/2
这与为锐角相矛盾，舍去。
当tan(θ/2)=2-√3时，tanφ=(2-√3)/tan(θ/2)=1
即，φ=π/4
此时，θ=(2π/3)-(π/4)*2=π/6
所以，当锐角θ=π/6、φ=π/4时，两个等式均满足。