问题: S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)],p=1/2(a b c),这个公式是怎么证明的?
好象叫什么海伦公式?a,b,c是三角形的三边,p是周长的一半.
S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)],p=1/2(a+b+c),
请给一种证明方法~
解答:
因为cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)
所以(sinC)^2=1-(cosC)^2
=1-(a^2+b^2-c^2)^2/(2ab)^2
=[(2ab)^2-(a^2+b^2-c^2)^2]/(2ab)^2
=[(2ab-a^2-b^2+c^2)(2ab+a^2+b^2-c^2)]/(2ab)^2
=[c^2-(a-b)^2]*[(a+b)^2-c^2]/(2ab)^2
=(a+b+c)(a+b-c)(c+b-a)(c+a-b)/(2ab)^2
令a+b+c=2p,那么a+b-c=(a+b+c)-2c=2(p-c),同理b+c-a=2(p-a);c+a-b=2(p-b)。
因此sinC=4√[p(p-a)(p-a)(p-b)(p-c)]/(2ab)
故S=1/2*absinC=ab/2*2√[p(p-a)(p-b)(p-b)(p-c)]/(ab)
=[p(p-a)(p-b)(p-c)]
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