问题: 一道求极限
见图。
解答:
解：原式=lim<x→0>[√(1+tanx)-√(1+sinx)]/x[√(1+sin²x)-1]
(分子有理化)
=lim<x→0>[(1+tanx)-(1+sinx)]/{x[√(1+sin²x)-1][√(1+tanx)+√(1+sinx)]}
=(1/2)lim<x→0>(tanx-sinx)/[x(sin²x/2)]
=lim<x→0>[sinx(1-cosx)]/x³cosx
=lim<x→0>(1-cosx)/x²
=1/2
第三步用到了等价无穷小代换：(1+t)^(1/n)-1～(1/n)t(t→0)
故√(1+sin²x)-1～sin²x/2
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