问题: 初中几何极值问题
设P是任意△ABC平面上一动点, P到边BC,CA,AB的距离分别为PD,PE,PF.
问P在何处时, 才使PD^2+PE^2+PF^2的值为最小.
解答:
设P是任意△ABC平面上一动点, P到边BC,CA,AB的距离分别为PD,PE,PF.
问P在何处时, 才使PD^2+PE^2+PF^2的值为最小.
答 当P为三角形ABC的类似重时最小.
∵BC*PD+CA*PE+AB*PF=2S [表示三角形ABC的面积]
由柯西不等式.得
(BC^2+CA^2+AB^2)*(PD^2+PE^2+PF^2)≥(BC*PD+CA*PE+AB*PF)
∴PD^2+PE^2+PF^2≥(4S^2)/(BC^2+CA^2+AB^2)
当PD=2BC*S/(BC^2+CA^2+AB^2);PE=2CA*S/(BC^2+CA^2+AB^2);
PF=2AB*S/(BC^2+CA^2+AB^2).即P是三角形ABC的类似重心时.
PD^2+PE^2+PF^2=(4S^2)/(BC^2+CA^2+AB^2).
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