椭圆的方程为(x^2)/4+(y^2)/3=1,且∠F1PF2=90º,求△PF1F2的面积
椭圆的中心在坐标轴原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q两点，且线段OP⊥线段OQ，∣PQ∣=（√10）/2，求椭圆的方程

椭圆的方程为(x^2)/4+(y^2)/3=1,且∠F1PF2=90º,求△PF1F2的面积
椭圆为x^2/4+y^2/3=1，所以：a^2=4，b^2=3
则，c^2=a^2-b^2=1
所以，焦点坐标为：F1(-1,0)、F2(1,0)
那么，F1F2=2
设PF1=m，PF2=n
那么，根据椭圆的定义，就有：PF1+PF2=2a
即：m+n=2a=2*2=4…………………………………………（1）
而，已知∠F1PF2=90°，即△F1PF2为直角三角形
所以，由勾股定理有：PF1^2+PF2^2=F1F2^2
即，m^2+n^2=4
所以，(m+n)^2-2mn=4……………………………………（2）
将(1)代入(2)就有：16-2mn=4
所以，mn=6
而，△F1PF2为直角三角形，其面积=(1/2)PF1*PF2=(1/2)*mn
=(1/2)*6
=3

椭圆的中心在坐标轴原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q两点，且线段OP⊥线段OQ，∣PQ∣=（√10）/2，求椭圆的方程
设椭圆的方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1
点P(x1,x1+1)、Q(x2,x2+1)
那么，OP连线的斜率Kop=(x1+1)/x1
OQ连线的斜率Koq=(x2+1)/x2
因为OP⊥OQ，所以：Kop=-1/Koq
即：(x1+1)/x1=-x2/(x2+1)
所以：(x1+1)(x2+1)=-x1x2
则：x1+x2+2x1x2+1=0………………………………………（1）
又，已知|PQ|=√10/2，所以：PQ^2=5/2
由两点间距离公式有：
PQ^2=(x1-x2)^2+(x1+1-x2-1)^2=2(x1-x2)^2=5/2
所以：(x1-x2)^2=5/4
而，(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=5/4……………………（2）
由(1)有，x1+x2=-1-2x1x2，代入上式就有：
(2x1x2+1)^2-4x1x2=5/4
===> 4x1^2*x2^2+1+4x1x2-4x1x2=5/4
===> 4x1^2*x2^2=1/4
===> x1^2*x2^2=1/16………………………………………（3）
联立直线和椭圆的方程，就有：
b^2x^2+a^2y^2-a^2b^2=0
y=x+1
===> b^2x^2+a^2(x+1)^2-a^2b^2=0
===> (a^2+b^2)x^2+2a^2x+a^2(1-b^2)=0
则，x1+x2=-2a^2/(a^2+b^2)
x1x2=a^2(1-b^2)/(a^2+b^2)………………………………（4）
联立(3)(4)，就有：
a^2=2/3
b^2=2
所以，椭圆方程为：x^2/(2/3)+y^2/2=1