已知梯形ABCD，其中两对角线相交于点O，且两对角线的长分别为5和12，该梯形的中位线的长为13/2，△AOB的面积为S1,△DOC的面积为S2，求根号S1与根号S2的和。

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已知梯形ABCD，其中两对角线相交于点O，且两对角线的长分别为5和12，该梯形的中位线的长为13/2，△AOB的面积为S1,△DOC的面积为S2，求根号S1与根号S2的和

如图，过点B作AC的平行线，交DC的延长线于点E
设AB=m，CD=n
因为梯形的中位线长为13/2
则，m+n=(13/2)*2=13
而，AB//CE，BE//AC
所以，四边形ABEC为平行四边形
所以，BE=AC=5，CE=AB=m
所以，DE=CD+CE=CD+AB=n+m=13
而，BD=12
所以，在△DBE中由勾股定理知道：DE^2=DB^2+BE^2
所以，DB⊥BE
而，BE//AC
所以，DB⊥AC，即梯形的两条对角线互相垂直
又，AB//CD
所以，AO/OC=AB/CD=m/n
所以，AO=(m/n)OC
而，AO+OC=AC=5
所以，(m/n)OC+OC=5
所以，(m/n+1)OC=[(m+n)/n]OC=(13/n)OC=5
所以，OC=5n/13
那么，AO=(m/n)OC=(m/n)*(5n/13)=5m/13
同理，BO=12m/13、DO=12n/13
而，△AOB和△DOC均为直角三角形
所以：
S1=(1/2)AO*OB=(1/2)*(5m/13)*(12m/13)=30m^2/13^2
S2=(1/2)CO*DO=(1/2)*(5n/13)*(12n/13)=30n^2/13^2
所以，√S1+√S2=(√30m/13)+(√30n/13)
=(√30/13)*(m+n)
=(√30/13)*13
=√30