已知数列an的前n项和Sn=n^2，设bn=an/(3^n) 数列bn的前n项和为T，求证Tn=1-（n+1）/（3^n）

已知数列an的前n项和Sn=n^2，设bn=an/(3^n) 数列bn的前n项和为T，求证Tn=1-（n+1）/（3^n）

已知数列an的前n项和Sn=n^2，所以：S1=a1=1
且，an=Sn-S<n-1>=n^2-(n-1)^2=2n-1
上式对于n=1的时候也满足
所以，数列an=2n-1
那么，数列bn=(2n-1)/(3^n)
用数学归纳法证明：
当n=1时，T1=1-(n+1)/(3^n)=1-(1+1)/3=1-(2/3)=1/3
而，b1=(2*1-1)/3=1/3
所以，T1=b1成立
假设当n=k时，Tk=1-(k+1)/(3^k)
那么，当n=k+1时：
T<k+1>=Tk+b<k+1>=[1-(k+1)/(3^k)]+[2(k+1)-1]/(3^<k+1>)
=1-(3k+3)/(3^<k+1>)+(2k+1)/(3^<k+1>)
=1-[(3k+3)-(2k+1)]/(3^<k+1>)
=1-[(k+2)/(3^<k+1>)]
=1-[(k+1)+1]/3^<k+1>
所以，当n=k+1时等式也满足
综上：原等式Tn=1-(n+1)/(3^n)是成立的。

或者，可以直接求出Tn
因为：bn=(2n-1)/3^n
所以：
Tn=b1+b2+b3+b4+……+b<n-2>+b<n-1>+bn
=(1/3)+(3/9)+(5/27)+(7/81)+……+[(2n-5)/3^<n-2>]+[(2n-3)/3^<n-1>]+[(2n-1)/3^n]…………………………………（1）
将上式等式两边同乘以3，就有：
3Tn=1+1+(5/9)+(7/27)+……+[(2n-5)/3^<n-3>]+[(2n-3)/3^<n-2>]+[(2n-1)/3^<n-1>]…………………………………（2）
(2)-(1)就有：
2Tn=(5/3)+(2/9)+(2/27)+……+(2/3^<n-2>)+(2/3^<n-1>)-[(2n-1)/3^n]
=1+[(2/3)+(2/9)+(2/27)+……+(2/3^<n-2>)+(2/3^<n-1>)]-[(2n-1)/3^n]
上式中间是一个等比数列
后略。。。