已知 P+Q+R=9，
且P/（X*X-YZ）=Q/（Y*Y-ZX）=R/（Z*Z-XY）
那么（P*X+Q*Y+R*Z）/（X+Y+Z）的值为多少

答案：9

利用合比定理，有

P/（X*X-YZ）=Q/（Y*Y-ZX）=R/（Z*Z-XY）
=(P+Q+R)/(X^2+Y^2+Z^2-YZ-ZX-XY)
=9/(X^2+Y^2+Z^2-YZ-ZX-XY)。

P=9*(X^2-YZ)/(X^2+Y^2+Z^2-YZ-ZX-XY)；
Q=9*(Y^2-ZX)/(X^2+Y^2+Z^2-YZ-ZX-XY)；
R=9*(Z^2-XY)/(X^2+Y^2+Z^2-YZ-ZX-XY)。

(P*X+Q*Y+R*Z）/（X+Y+Z）
=9*[X*(X^2-YZ)+Y*(Y^2-ZX)+Z*(Z^2-XY)]/[(X^2+Y^2+Z^2-YZ-ZX-XY)*（X+Y+Z）]
=9*(X^3+Y^3+Z^3-3XYZ)/[(X^2+Y^2+Z^2-YZ-ZX-XY)*（X+Y+Z）]
=9。


本问题之关键在利用因式分解公式：
X^3+Y^3+Z^3-3XYZ=(X^2+Y^2+Z^2-YZ-ZX-XY)*（X+Y+Z）。