证明:有限维线性赋范空间都是完备的.

设(E,||.||)为n维线性赋范空间,(e1,e2,..,en)为E的一个基.
1.
A=inf{||a1e1+a2e2+..+anen||,|a1|+|a2|+..+|an|=1},
证明A>0.反证法,设A=0.
则有Lim_{k→+∞}||a1(k)e1+a2(k)e2+..+an(k)en||=0,
|a1(k)|+|a2(k)|+..+|an(k)|=1
则有子列{k(m)}满足:
Lim_{m→+∞}as(k(m))=bs,s=1,..,n,
其中|b1|+|b2|+..+|bn|=1.
x=b1e1+b2e2+..+bnen≠0
==>
Lim_{m→+∞}a1(k(m))e1+a2(k(m))e2+..+an(k(m))en=x
和Lim_{k→+∞}||a1(k)e1+a2(k)e2+..+an(k)en||=0矛盾.

2.
{x(k),k≥1}为E的Gauchy列,
x(k)=a1(k)e1+a2(k)e2+..+an(k)en,根据1.得:
||x(k)-x(k')||≥A[|a1(k)-a1(k')|+..+|an(k)-an(k')|]
==>
Lim_{k→+∞}as(k)=bs,s=1,..,n,
x=b1e1+b2e2+..+bnen
==>
Lim_{k→+∞}a1(k)e1+a2(k)e2+..+an(k)en=x
==>
(E,||.||)完备.