设a,b,c为正数,且a+b+c=9.求证
a^2+b^2+c^2+abc≥2(ab+bc+ca) (1)
证明 首先对所证不等式齐次化，即等价于
(a+b+c)*(a^2+b^2+c^2)+9abc≥2(ab+bc+ca)*(a+b+c) (2)
<===>
a^3+b^3+c^3+3abc≥(b+c)a^2+(c+a)b^2+(a+b)c^2 (3)
<==>
abc≥(b+c-a)*(c+a-b)*(a+b-c) (4)
(4)是常见的不等式.
附证(4)
如(b+c-a),(c+a-b),(a+b-c)有一为负,(4)式显然成立.
不可能是两个为负的.
假设b+c<a,那么c+a-b>0,a+b-c>0.
如(b+c-a),(c+a-b),(a+b-c)均为非负,则
a^2≥(a+b-c)*(a+c-b)
b^2≥(a+b-c)*(b+c-a)
c^2≥(c+a-b)*(b+c-a)
上述三式同向相乘,开方即得(4)式.
