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问题: 高中立体几何

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知M、N、Q分别为棱AB、BC、AA1的中点,P为MN与BD的交点。给出如下几个命题:
(1)∠BB1P是直线BB1与平面B1MN所成的角。(2)直线AC1∥平面B1MN;
(3)异面直线D1Q与B1N成90O角;(4)若用与平面B1MN平面的平面截此正方体,则截面图形一定是三角形或四边形。
则所有正确的命题的序号是_______。


解答:

所有正确的命题的序号是(1),(2),(4).如下图所示:
(1) ∵ MN⊥BP,由三垂线定理MN⊥B1P, ∴ MN⊥面BB1P,面B1MN⊥面BB1P,面B1MN∩面BB1P=B1P, ∴ BB1在面B1MN内的射影是B1P,
∴ ∠BB1P是直线BB1与平面B1MN所成的角
(2) 设H,F分别是BB1,CC1的中点,HF交B1N于E, ∵ MF∥AC1, ∴ ME∥AC1, MN在面B1MN内, ∴ 直线AC1∥平面B1MN
(3) 把D1Q平移到C1H,C1H∩B1N=T,则∠BTH(或其补角)是异面直线D1Q与B1N成角,但C1T不⊥B1N, ∴ 异面直线D1Q与B1N成角不是90°
(4) R,S为中点,与平面B1MN平行的截面DRS是三角形,对角面AA1C1C是四边形。