若X^2 +3≥K|X|对一切X∈R恒成立，则实数K的取值范围为
请写出详细的过程和思路，谢谢

若X^2 +3≥K|X|对一切X∈R恒成立，则实数K的取值范围为

令函数f(x)=x^2-k|x|+3，它是一个开口向上、恒经过点(0,3)的二次函数
那么：
1）当△=b^2-4ac≤0时，对于一切X∈R就恒有f(x)≥0
则，△=b^2-4ac=k^2-12≤0
所以，-2√3≤k≤2√3…………………………………………（1）
2）当△>0时
i)若x>0，则f(x)=x^2-kx+3，此时：
就应该满足x>0时f(x)≥0
则：
△=b^2-4ac=k^2-12>0，即：k>2√3或者k<-2√3
对称轴x=-b/2a=k/2<0，即：k<0
所以，k<-2√3………………………………………………（2）
ii)若x≤0，则f(x)=x^2+kx+3，此时：
就应该满足x≤0时f(x)≥0
则：
△=b^2-4ac=k^2-12>0，即：k>2√3或者k<-2√3
对称轴x=-b/2a=-k/2>0，即：k<0
所以，k<-2√3………………………………………………（3）
联立(1)(2)(3)得到：
k≤2√3