问题: 请教一个数学题
已知关于x的方程x^+zx+4+3i=0有实根，求复数z的模的最小值.
麻烦大家把过程写详细一些。谢谢！
解答:
已知关于x的方程x^+zx+4+3i=0有实根，求复数z的模的最小值.
x^2+zx+4+3i=0
===> x*(x+z)+(4+3i)=0
既然该方程有实数根，那么：令x+z=k(4+3i)（k∈R）
===> x*k(4+3i)+(4+3i)=0
===> (4+3i)(kx+1)=0
此时就有实数根x=-1/k
===> (-1/k)+z=k(4+3i)
===> z=k(4+3i)+(1/k)
===> z=[4k+(1/k)]+3ki
===> |z|=√{[4k+(1/k)]^2+(3k)^2}
令f(k)=[4k+(1/k)]^2+9k^2
=25k^2+(1/k^2)+8
≥2*√[25k^2*(1/k^2)]+8
=2*5+8=18
当且仅当25k^2=1/k^2，即k^4=1/25，k=±√5/5时取等号
所以，f(k)有最小值18
那么，复数z的模的最小值为√18=3√2
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