我们称以三角形三条高线的垂足为顶点的三角形为垂三角形。求出一个与自己垂三角形相似的钝角三角形。

定义 以一个三角形三条高线的垂足为顶点的三角形为高足三角形。
作出一个与自己高足三角形相似的钝角三角形。

设钝角三角形ABC的三内角为:∠A=4π/7,∠B=2π/7,∠C=π/7.
则钝角三角形ABC的垂三角形[高足三角形]与原三角形相似.

这个钝角△ABC满足:︱cosA*cosB*cosC︱=1/8
解 不妨设C为钝角，则

cosA*cosB*cosC=-1/8。 (1)

假设B=2A，由正弦定理得:a/sinA=b/sin2A <==> cosA=b/(2a);

假设C=2B，由正弦定理得:b/sinB=c/sin2B <==> cosB=c/(2b);

那么cosC是否等于-a/(2c) .

对于三角形三内角之比为:1:2:4，总存在

1/b+1/c=1/a，即bc=ab+ca; (2)

b^2=a^2+ab; (3)

c^2=b^2+ab. (4)

而 cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=(a-b)/(2b)=(ac-bc)/(2bc)=-ab/(2bc)=-a/(2c)

所以当A:B:C=1:2:4，即A=π/7，B=2π/7，C=4π/7，(1)式成立。

因此A:B:C=1:2:4。