问题: 请证明1/2*3/4*5/6*7/8*9/10-----*99/100<1/10
请证明1/2*3/4*5/6*7/8*9/10-----*99/100<1/10
解答:
左式=1/2*3/4*5/6*7/8*9/10-----*99/100
=3/2*5/4*7/6*-----*99/98*1/100(所有分子数值向前挪一位,而第一位的1做100的分子)
=(1+1/2)(1+1/4)(1+1/6)*-----*(1+1/98)*1/100
而原左式=1/2*3/4*5/6*7/8*9/10-----*99/100
还可以表示成=(1-1/2)(1-1/4)(1-1/6)(1-1/8)*-----*(1-1/98)*99/100
看出门道了吧,上下相乘
那么左式的平方=[(1+1/2)(1+1/4)(1+1/6)*-----*(1+1/98)*1/100]*[(1-1/2)(1-1/4)(1-1/6)(1-1/8)*-----*(1-1/98)*99/100]
=(1-1/2^2)(1-1/4^2)(1-1/6^2)*-----*(1-1/98^2)*99/100*1/100
前面50项全部小于1,相乘小于1,那么乘1/100小于1/100
所以左式^2<1/100
开方,左式<1/10
完毕
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