2.过圆x^2+y^2-6x-8y=0 内一点A(5,3),任作两条互相垂直的射线，分别交圆于B、C两点，求线段BC的中点D的轨迹方程。

2.过圆x^2+y^2-6x-8y=0 内一点A(5,3),任作两条互相垂直的射线，分别交圆于B、C两点，求线段BC的中点D的轨迹方程。

圆的方程为：(x-3)^2+(y-4)^2=25
点B、C在圆上，那么设B(3+5cosα,4+5sinα)、C(3+5cosβ,4+5sinβ)
那么，BC中点D((6+5cosα+5cosβ)/2,(8+5sinα+5sinβ)/2)
令：
x=(6+5cosα+5cosβ)/2
y=(8+5sinα+5sinβ)/2
那么：cosα+cosβ=(2x-6)/5，sinα+sinβ=(2y-8)/5
则：cosαcosβ=[(cosα+cosβ)^2-(cos^α+cos^β)]/2=[(2x-6)^2/25-(cos^α+cos^β)]/2
sinαsinβ=[(sinα+sinβ)^2-(sin^α+sin^β)]/2=[(2y-8)^2/25-(sin^α+sin^β)]/2………………………………………………（1）
而，射线AB、AC的斜率分别为：
Kab=(1+5sinα)/(5cosα-2)
Kac=(1+5sinβ)/(5cosβ-2)
因为AB⊥AC，所以：Kab*Kac=-1
即：[(1+5sinα)/(5cosα-2)][(1+5sinβ)/(5cosβ-2)]=-1
===> 1+5(sinα+sinβ)+25sinαsinβ+25cosαcosβ-10(cosα+cosβ)+4=0
===> 25sinαsinβ+25cosαcosβ+5(sinα+sinβ)-10(cosα+cosβ)+5=0
将(1)式中的sinαsinβ、cosαcosβ、(sinα+sinβ)、(cosα+cosβ)分别代入上式，就有：
25*[(2y-8)^2/25-sin^α-sin^β]/2+25*[(2x-6)^2/25-cos^α-cos^β]/2+5*(2y-8)-10*(2x-6)+5=0
===> (2y-8)^2+(2x-6)^2-25*(sin^α+sin^β+cos^α+cos^β)/2+5*(2y-8)-10*(2x-6)+5=0
===> (2y-8)^2+(2x-6)^2-25+5*(2y-8)-10*(2x-6)+5=0
===> (2y-8)^2+(2x-6)^2+5*(2y-8)-10*(2x-6)-20=0
===> 4y^2-32y+64+4x^2-24x+36+10y-40-20x+60-20=0
===> 4x^2+4y^2-44x-22y+100=0
这就是BC中点D的轨迹方程。