把一段半径为R的圆木锯成横截面为矩形的木料,怎样锯法能使横截面积最大 分别设边与角为自变量,并解法进行比较
解法1.矩形对角线(圆直径2R),长,宽组成直角三角形
设矩形长为x,则宽为√[(2R)^2-x^2]
横截面积=x*√[(2R)^2-x^2]≤[x^2+(2R)^2-x^2]/2
=4R^2/2=2R^2,当且仅当x=[(2R)^2-x^2]取等号,即
当且仅当x^2=4R^2-x^2取等号,即x=√2R取等号,即
矩形为圆内接正方形(边长√2R)时横截面积最大为2R^2
解法2.矩形对角线(圆直径2R),长,宽组成直角三角形
设矩形对角线与长的夹角为θ,则
长a=2Rcosθ,宽b=2Rsinθ
横截面积=长a*宽b=2Rcosθ*2Rsinθ=
2R^2*(2sinθcosθ)=
2R^2*sin2θ,
当θ=45°即
矩形为圆内接正方形(边长√2R)时横截面积最大为2R^2
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