设x,y,z为非负实数,求使下列成立
x/(x+ty)+y/(y+tz)+z/(z+tx)≥3/(1+t)
的最小t值.

设x,y,z为非负实数,求使下列成立
x/(x+ty)+y/(y+tz)+z/(z+tx)≥3/(1+t) (1)
的最小t值.

解 设k=y/x,m=z/y,n=x/z,k,m,n∈R+,则(1)式等价于
1/(1+tk)+1/(1+tm)+1/(1+tn)≥3/(1+t) (2)
其中k*m*n=1,a,b,c∈R+
再设k=a^2/bc,m=b^2/ca, n=c^2/ab,将其代入(2),得
bc/(bc+ta^2)+ca/(ca+tb^2)+ab/(ab+tc^2)≥3/(1+t) (3)
(3)展开为[约去t]
[∑(bc)^3-3(abc)^2]t^2-2[∑(bc)^3-abc∑a^3]t-abc[∑a^3-3abc]≥0
<===>
(t-2)[t∑(bc)^3+2abc∑a^3-3(t+2)(abc)^2]+abc[∑a^3-3abc]≥0
<===>
(t-2){t[∑(bc)^3-3(abc)^2]+2abc[∑a^3-3abc]}+abc[∑a^3-3abc]≥0.
因为∑(bc)^3-3(abc)^2≥0,∑a^3-3abc≥0,
所以当t≥2时,(1)式成立.

当t≥2时,证明(1)式.
由柯西不等式得
∑x/(x+ty)≥(∑x)^2/∑x(x+ty)
====>
(∑x)^2/∑x(x+ty)≥3/(1+t)

<===>
(t-2)*(x^2+y^2+z^2-yz-zx-xy)≥0
显然成立.