设AM是△ABC边BC上中线,任作一直线,分别交AB,AM,AC于P,N,Q.
求证 AB/AP,AM/AN,AC/AQ成等数列
如图
延长CB交PNQ所在直线于点E；过点A作BC的平行线，角PNQ所在直线于点F
则：BP/AP=EB/AF
那么，上式两边都+1，得到：(BP/AP)+1=(EB/AF)+1
所以：(BP+AP)/AP=(EB+AF)/AF
即：AB/AP=(EB+AF)/AF
同理，AM/AN=(EM+AF)/AF
AC/AQ=(EC+AF)/AF
而M是BC中点，所以：BM=CM=BC/2
所以：(EM+AF)/AF=[(EB+BM)+AF]/AF=[EB+(BC/2)+AF]/AF
(EC+AF)/AF=[(EB+BC)+AF]/AF=(EB+BC+AF)/AF
又因为：[(EB+AF)/AF]+[(EB+BC+AF)/AF]=(2EB+BC+2AF)/AF
=2*[EB+(BC/2)+AF]/AF
即：(AB/AP)+(AC/AQ)=2*(AM/AN)
所以，AB/BP、AM/AN、AC/AQ成等差数列
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