直角三角形ABC中，角A=30,以斜边AB的中点O为顶点作任一直角，两直角边分别交AC,BC于点M,N.过M,N作AB的垂线，垂足分别为D,E.求证：AD=OE.

直角三角形ABC中，角A=30,以斜边AB的中点O为顶点作任一直角，两直角边分别交AC,BC于点M,N.过M,N作AB的垂线，垂足分别为D,E.求证：AD=OE.

如图
连接MN、OC
因为NE⊥AB、MD⊥AB、OM⊥ON
所以：∠3+∠4=90°，∠4+∠5=90°
所以：∠3=∠5
所以，Rt△OEN∽Rt△MDO
所以，OE/MD=ON/OM…………………………………………（1）
又，∠NCM=∠MON=90°
那么，N、C、M、O四点共圆（它们都在以MN为直径的圆上）
所以，∠1=∠2
又，O为Rt△ABC斜边AB的中点，所以：OA=OC
所以，∠1=∠A=30°
所以，∠2=∠A=30°
那么，Rt△NOM∽Rt△ADM
所以，ON/OM=AD/MD…………………………………………（2）
由(1)(2)得到：
OE/MD=ON/OM=AD/MD
所以，OE=AD