设I是ΔABC内心，a,b,c表示相应的三边长.
求证 (AI+BI+CI)^2≤bc+ca+ab

设I是ΔABC内心，a,b,c表示相应的三边长.
求证 (AI+BI+CI)^2≤bc+ca+ab.

证 设2s=a+b+c.
由三角形内心恒等式
AI=√[bc(s-a)/s]=[bc*cos(A/2)]/s，
BI=√[ca(s-b)/s]=[ca*cos(B/2)]/s，
CI=√[ab(s-c)/s]=[ab*cos(C/2)]/s.
所以 s*(AI+BI+CI)^2
=bc(s-a)+ca(s-b)+ab(s-c)+2abc[sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2)]
=s(bc+ca+ab)-3abc+2abc[sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2)]
所证不等式等价于
sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2)≤3/2 (1)
而 sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2)≤3*sin[(A+B+C)/6]=3/2.