如图，直线y=kx+b与椭圆x^2/16+y^2/4=1交于A,B两点，记△AOB的面积为S
当|AB|=4，S=4时，求直线AB的方程
请写出详细的过程和思路，谢谢

如图，直线y=kx+b与椭圆x^2/16+y^2/4=1交于A,B两点，记△AOB的面积为S，当|AB|=4，S=4时，求直线AB的方程
请写出详细的过程和思路，谢谢

过原点O作AB的垂线，垂足为C
则，S△AOB=(1/2)*|AB|*|OC|=(1/2)*4*|OC|=4
所以，|OC|=2
即，原点到直线y=kx+b（亦即：kx-y+b=0）的距离为2
那么，根据点到直线的距离公式有：d=|0*k-0+b|/√(k^2+1)=2
所以：b^2=4(k^2+1)……………………………………………（1）
又，点A、B为直线与椭圆的交点，联立直线与椭圆的方程，得到：
y=kx+b
x^2+4y^2-16=0
所以：x^2+4(kx+b)^2-16=0
整理，得到：(4k^2+1)x^2+8kbx+4(b^2-4)=0
设A(x1,kx1+b)、B(x2,kx2+b)，所以：
x1+x2=-8kb/(4k^2+1)
x1x2=4(b^2-4)/(4k^2+1)
已知|AB|=4，则：AB^2=16
所以：(x1-x2)^2+[(kx1+b)-(kx2+b)]^2=16
===> (x1-x2)^2+k^2(x1-x2)^2=16
===> (k^2+1)(x1-x2)^2=16
===> (k^2+1)[(x1+x2)^2-4x1x2]=16
===> (k^2+1){[-8kb/(4k^2+1)]^2-4*[4(b^2-4)/(4k^2+1)]}=16
===> (k^2+1){[64k^2b^2/(4k^2+1)^2]-[16(b^2-4)/(4k^2+1)]}=16
===> (k^2+1){[4k^2b^2/(4k^2+1)^2]-[(b^2-4)/(4k^2+1)]}=1
将(1)代入上式，得到：
(k^2+1){[4k^2*4(k^2+1)/(4k^2+1)^2]-[4k^2/(4k^2+1)}=1
===> (k^2+1){[16k^2(k^2+1)-4k^2*(4k^2+1)]/(4k^2+1)^2}=1
===> (k^2+1)[(16k^4+16k^2-16k^4-4k^2)]=(4k^2+1)^2
===> (k^2+1)(12k^2)=16k^4+8k^2+1
===> 12k^4+12k^2=16k^4+8k^2+1
===> 4k^4-4k^2+1=0
===> (2k^2-1)^2=0
===> 2k^2-1=0
===> k^2=1/2
代入到(1)中，就有：b^2=4(k^2+1)=4k^2+4=4*(1/2)+4=6
所以：k=±(√2/2)，b=±√6
故，直线y=kb+b的方程为：
y=±(√2/2)x±√6（互相对称的4条直线）