问题: 高中不等式
设x,y,z为正实数，则有
[x/(x+y)]^2+[y/(y+z)]^2+z/(z+x)≥1
解答:
证明 设a=y/x,b=z/y, 则z/x=ab，
所以待证不等式左边等价于
[1/(1+a)]^2+[1/(1+b)]^2+ab/(1+ab)
=(2+2a+2b+a^2+b^2)/(1+a+b+ab)^2+ab/(1+ab)
再设a+b=n,ab=m。则n>0,n^2≥4m，
作置换，待证不等式等价于
(2+2n+n^2-2m)/(1+n+m)^2+m/(1+m)≥1
上式去分母整理为
1-2m-3m^2+mn^2≥0
因为n^2≥4m，所以只需证
m^2-2m+1≥0
<==> (m-1)^2≥0。显然成立。
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