问题: 三角不等式
在锐角三角形ABC中，求证
cos(B-C)/cosA+cos(C-A)/cosB+cos(A-B)/cosC≥6
解答:
证明 因为 cos(B-C)=2sinBsinC-cosA，
故待证不等式等价于
sinBsinC/cosA+sinCsinA/cosB+sinAsinB/cosC≥9/2
根据余弦定理,面积公式及简单不等式:
(x+y+z)(1/x+1/y+1/z)≥9,得
sinBsinC/cosA+sinCsinA/cosB+sinAsinB/cosC≥
8△^2{1/[a^2(b^2+c^2-a^2)]+1/[b^2(c^2+a^2-b^2)]+
1/[c^2(a^2+b^2-c^2)]}
≥(1/2)[a^2(b^2+c^2-a^2)+b^2(c^2+a^2-b^2)+c^2(a^2+b^2-c^2)]*{1/[a^2(b^2+c^2-a^2)]+1/[b^2(c^2+a^2-b^2)]+1/[c^2(a^2+b^2-c^2)]}
≥9/2.
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