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问题: 抛物线(解附加题部分)

解答:

附加题:
E:y=ax^2+bx+c,P坐标是:p[-b/2a,(4ac-b^2)/4a]
因为图像关于x=t对称,所以:
Q的坐标是:Q[(2t+b/2a),(4ac-b^2)/4a]
M的坐标是:M(t,at^2+bt+c)

设抛物线E上存在点N(x,y)使PQMN为平行四边形,且对角线的交点为H,则H就是PM,QN的中点:
∴[(-b+b/2a)+t]/2=[(2t+b/2a)+x]/2------------------(1)
[(4ac-b^2)/4a+(at^2+bt+c)]/2=[(4ac-b^2)/4a)+y]/2----(2)
解(1),(2)方程得:
x=-(b/a+t)
y=at^2+bt+c
即:点N的坐标是:N:【-(b/a+t),(at^2+bt+c)】

把点N:【-(b/a+t),(at^2+bt+c)】代入抛物线E,
y=ax^2+bx+c
==>(at^2+bt+c)=a[-(b/a+t)]^2+b[-(b/a+t)]+c
==>(at^2+bt+c)=a(b^2/a^2+t^2+2bt/a)-b^2/a-bt+c
==>(at^2+bt+c)=at^2+bt+c
左右相等,说明点N:【-(b/a+t),(at^2+bt+c)】就在抛物线E上。假设成立;

同理:抛物线F上也一定存在一点N’使PQMN’为平行四边形。
并且E’就是E关于直线x=t的对称点。
N’的坐标是:[b/a+3t,(at^2+bt+c)]

(题26)
在抛物线E:y=x^2+2mx-m上;
N【(-2m+t),(t^2+2mt-m)】
在抛物线F上:
N'【(2m+3t),(t^2+2mt-m)】