设：点D为边AC的中点，A1C1中点F；MN中点E；BP交平面B1MN于点Q
BF/FE=BM/MA=λ，BF=BE*λ/(1+λ)=[(√3)a/2]*λ/(1+λ)
1. MN||AC，BD⊥AC ==> BD⊥MN。又有PB⊥MN。因此，MN⊥平面BPD
==> MN⊥PD ==> 点P的轨迹为线段DF
2. P为AA1C1C中心时，△ABD≌△ABP，BP=AB=a
BP⊥平面B1MN ==> BP⊥QF，△BQF为直角△，△BQF∽△BPE
△BB1F∽△BPE ==> BF/BB1=PD/BD=(a/2)/[(a√3)/2]=tg∠BB1Q
==> ∠BB1Q=30°=BB1与平面B1MN的夹角
BF=BB1*tg∠BB1Q=(√3)a/3 =[(√3)a/2]*λ/(1+λ)
==> λ=2