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问题: 若动点(x,y)在曲线上x^2/4+y^2/b^2=1(b>0)上,则x^2 +2y的最大值是

解答:

若动点(x,y)在曲线上x^2/4+y^2/b^2=1(b>0)上,则x^2 +2y的最大值是

因为动点(x,y)在椭圆x^2/4+y^2/b^2=1(b>0)上,令动点坐标为:
x=2cosθ
y=bsinθ
那么:x^2+2y=(2cosθ)^2+2bsinθ=4cos^2(θ)+2bsinθ
=4[1-sin^2(θ)]+2bsinθ=-4sin^2(θ)+2bsinθ+4
=-4*[sin^2(θ)-(b/2)sinθ]+4
=-4*[sin^2(θ)-(b/2)sinθ+(b^2/4)]+(4+b^2)
=-4*[sinθ-(b/4)]^2+(b^2+4)
令sinθ=t,f(t)=-4*[t-(b/4)]^2+(b^2+4)
因为sinθ∈[-1,1],所以:
f(t)可以看作是定义在[-1,1]上,以t=b/4为对称轴,开口向下的抛物线
那么:
1)当-1≤b/4≤1,即:-4≤b≤4,而b>0
亦即:0<b≤4时,f(t)就有最大值f(b/4)=b^2+4
2)当b/4>1,即:b>4时,就有:
f(t)有最大值f(1)=-4*[1-(b/4)]^2+(b^2+4)=(3b^2/4)+2b