若A',B',C'为△ABC的角平分线与外接圆的第二个交点.
求证 ΔA'B'C'的面积≥ΔABC的面积

证明 设ΔABC的面积为S,ΔA'B'C'的面积为S'.ΔABC的三条角平分线AA',BB',CC'，分别交ΔABC的外接圆于A',B',C'。
记R,r分别为ΔABC的外接圆与内切圆半径。
计算得:
∠A'=(∠B+∠C)/2,∠B'=(∠C+∠A)/2,∠C'=(∠A+∠B)/2,
根据三角形面积公式得:
S=2R^2*sinA*sinB*sinC;
S'=2R^2*sin[(B+C)/2]*sin[(C+A)/2]*sin[(A+B)/2]
=2R^2*cos(A/2)*cos(B/2)*cos(C/2).
那么所证不等式等价于
cos(A/2)*cos(B/2)*cos(C/2)≥sinA*sinB*sinC
<==> 1≥8sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)
根据恒等式:
sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)=r/(4R)
所以上式等价于
R≥2r，这就是欧拉不等式,问题得证.