问题: 正三角形问题
题目 在正ΔABC中，D，E，F分别在线段BC，CA，AB上，记ΔAEF，ΔBFD，ΔCDE，ΔDEF的周长分别为X,Y,Z,T。
求证 1/X+1/Y+1/Z≥3/T.
解答:
证明 在ΔAEF中，由余弦定理得:
EF^2=AE^2+AF^2-2AE*AF*cos60°=AE^2+AF^2-AE*AF
=(AE+AF)^2/4+3(AE-AF)^2/4≥(AE+AF)^2/4
故 2EF≥AE+AF，所以得:
3EF≥AE+AF+EF=X (1-1)
同样方法可得:
3FD≥Y (1-2)
3DE≥Z (1-3)
因此1/X+1/Y+1/Z≥(1/EF+1/FD+1/DE)/3.
由柯西不等式得:
(EF+FD+DE)*(1/EF+1/FD+1/DE)≥9
<==> 1/EF+1/FD+1/DE≥9/(EF+FD+DE)=9/T.
故有 1/X+1/Y+1/Z≥3/T .
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