问题: 复变函数论
证明：方程ez－eλzn＝0(λ＞1) 在单位圆∣z∣＜1内有n个根
解答:
1.
f(z)=e^z－e^λz^n,g(z)=-e^λz^n
==>
g(z)在单位圆∣z∣＜1内有n重根.
而∣z∣=1时,|f(z)-g(z)|=
=|e^z|=e^(Rez)≤e^(1)<e^λ=|g(z)|
==>
f(z)和g(z)在单位圆∣z∣＜1内根的个数,按重数计算相同,
所以f(z)在单位圆∣z∣＜1内根的个数,按重数计算=n.
2.
现证明:f(z)在单位圆∣z∣＜1内无重根.
反证法,设z0为f(z)在单位圆∣z∣＜1内的重根,
则f(z0)=f'(z0)=0
==>e^z0－e^λ(z0)^n=e^z0－ne^λ(z0)^(n-1)=0
==>z0=n和∣z0∣＜1矛盾.
所以f(z)在单位圆∣z∣＜1内无重根.
==>
f(z)在单位圆∣z∣＜1内n个根.
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