函数f(x)=(x+1.x)/([x][1/x]+[x]+[1/x]+1)在其定义域内连续吗?

函数f(x)=(x+1/x)/([x][1/x]+[x]+[1/x]+1)定义域x>0.

当x=1时,1/x=1,f(1)=2/4=1/2
当x→1+0时,[x]=1,[1/x]=0,f(x)→(1+1)/(1+1)=1
当x→1-0时,[x]=0,[1/x]=1,f(x)→(1+1)/(1+1)=1
f(x)在点x=1处极限存在,但极限不等于函数值,跳跃间断点.

当x=n∈N+且n>1时,[x]=n,[1/x]=0
f(x)=(n+1/n)/(n+1)=(n^2+1)/(n^2+n)
当x→n-0时,[x]=n-1,[1/x]=0,
f(x)→(n+1/n)/(n-1+1)=(n^2+1)/n^2≠f(x)
当x→n+0时,[x]=n,[1/x]=0,
f(x)→(n+1/n)/(n+1)=(n^2+1)/(n^2+1)=f(x)
f(x)在点x=n(n∈N+且n>1)处左右极限存在但不相等,右极限等于函数值,右连续,跳跃间断点.

当x=1/n,n∈N+且n>1时,[x]=0,[1/x]=n
f(x)=(n+1/n)/(n+1)=(n^2+1)/(n^2+n)
当x→1/n-0时,[x]=0,[1/x]=n,
f(x)→(n+1/n)/(n+1)=(n^2+1)/(n^2+n)=f(x)
当x→1/n+0时,[x]=0,[1/x]=n-1,
f(x)→(n+1/n)/(n-1+1)=(n^2+1)/n^2≠f(x)
f(x)在点x=1/n(n∈N+且n>1)处左右极限存在但不相等,左极限等于函数值,左连续,跳跃间断点.

结论:f(x)在定义域(0,+∞)内不连续,当x为正整数及其这些正整数的倒数时,跳跃间断.