问题: 求函数的最大值与最小值。
设a,b,c;x,y,z∈R+,且满足:cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c。
求函数f(x,y,z)=x^/(1+x)+y^2/(1+y)+z^2/(1+z) 的最大值与最小值。
解答:
解 由已知条件
cy+bz=a,
az+cx=b,
bx+ay=c
解得:
x=(b^2+c^2-a^2)/(2bc);
y=(c^2+a^2-b^2)/(2ca);
z=(a^2+b^2-c^2)/(2bc).
因为x>0,y>0,z>0, 所以上述问题转化为:
在锐角三角形ABC中,求
f=(cosA)^2/(1+cosA)+(cosB)^2/(1+cosB)+(cosC)^2/(1+cosC)
的最大值与最小值。
设s,R,r分别表示锐角三角形ABC的半周长,外接圆与内切圆半径.由三角形己知恒等式:
ΣcosA=1+r/R;
ΣcosB*cosC=(s^2-4R^2-r^)/(4R^2);
Σ(cosA)^2=(-s^2+6R^2+4Rr+r^)/(2R^2);
∏(1+cosA)=s^2/(2R^2);
∏cosA==(s^2-4R^2--4Rr-r^)/(4R^2).
将这上己知恒等式代入f,化简整理得:
f=[R*(4R+r)^2-(3R+2r)s^2]/(2R*s^2).
求最小值就只需证
f≥1/2
<==> R*(4R+r)^2≥2(2R-r)s^2 (1)
(1)式即为己知O.Kooi不等式。
求最大值就只需证
2-√2≥f
<==> [(7-2√2)R-2r]s^2≥R*(4R+r)^2 (2)
设2z=max(A,B,C),x=sinz,显然1/2≤x≤2-√2).则
s^2≥2R*sin2z+r*cotz,
R/r≥1/[2sinz(1-sinz)]
所以 s/r≥cosz*(1+sinz)/[sinz*(1-sinz)]
将此代入(2)式得:
{[7-2√2]/[2x(1-x)]-2}*{(1-x^2)*(1+x)^2/[x^2*(1-x)^2]}
≥(2+x-x^2)^2/[2x^3*(1-x)^3]
<==>[7-2√2-4x+4x^2]*(1-x^2)(1+x)^2≥(1+x)^2*(2-x)^2
<==> [7-2√2-4x+4x^2]*(1-x^2)>=(2-x)^2
<==> -4x^4+4x^3+[2√2-4]x^2+3-2√2≥0
<==>[√(1/2)-x]*[4x^3+(2√2)-4)x^2+(6-4√2)x+4-3√2]≥0
在1/2≤x≤2-√2)条件下,易证
4x^3+(2√2)-4)x^2+(6-4√2)x+4-3√2≥0
故(2)式成立.
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