问题: 高中数学竞赛-01
设a,b,c为正数,满足:a^2+b^2+c^2+abc=4.
求证 a+b+c≤4
解答:
设a,b,c为正数,满足:a^2+b^2+c^2+abc=4.
求证 a+b+c≤3
证明 由题意得，a,b,c三正数中必有2个不大于1,或不小于1.
不妨设b,c不大于1,则
(b-1)*(c-1)≥1
<===>
bc-b-c+1≥0 (A)
∵a^2+b^2+c^2+abc=4,
∴4-a^2=b^2+c^2+abc≥2bc+abc=bc(2+a)
∴2-a≥bc (B)
故 2-a≥b+c-1
<==> a+b+c≤3.
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