问题: 高中数学竞赛-02
设a,b,c为正数,
求证 (a/b)^2+(b/c)^2+(c/a)^2+3≥2(b/a+a/c+c/b)
解答:
设a,b,c为正数,
求证 (a/b)^2+(b/c)^2+(c/a)^2+3≥2(b/a+a/c+c/b)
证明 设x,y,z为正数，令x^3=a/b,y^3=b/c,z^3=c/a.则 xyz=1.
所证不等式等价于
x^6+y^6+z^6+3≥2(1/x^3+1/y^3+1/z^3)
<====>
x^6+y^6+z^6+3(xyz)^2≥2[(yz)^3+(zx)^3+(xy)^3] (1)
不妨设x=min(x,y,z),(1)分解为
x^2*(x^2+y^2+z^2+yz+zx+xy)*(x-y)(x-z)
+[(y^2+yz+z^2)^2-x^3*(y+z)-x^2*yz)*(y-z)^2≥0
上式显然成立.
版权及免责声明
1、欢迎转载本网原创文章，转载敬请注明出处：侨谊留学（www.goesnet.org）；
2、本网转载媒体稿件旨在传播更多有益信息，并不代表同意该观点，本网不承担稿件侵权行为的连带责任；
3、在本网博客/论坛发表言论者，文责自负。
