问题: 初中平面几何
D是△ABC内部一点,已知∠BAC=80°,∠ABC=60°,∠BAD=10°,∠ABD=20°.
求∠BCD的角度.
解答:
D是△ABC内部一点,已知∠BAC=80°,∠ABC=60°,∠BAD=10°,∠ABD=20°.
求∠BCD的角度.
证明 ∵∠ABC=60°,∠BAC=80°,∠BAD=10°,∠ABD=20°.
∴∠CAD=70°,∠CBD=40°,∠ACB=40°.
令∠ACD=x,则∠BCD=40°-x.
据塞瓦定理得:
sin10°*sin40°*sinx=sin70°*sin20°*sin(40°-x)
<==>
sin10°*sin40°*sinx=cos20°*sin20°*sin(40°-x)
<==>
2sin10°*sinx=sin(40°-x)
<==>
2sin10°*sinx=cos(50°+x)
<==>
tanx=cos50°/(2sin10°+sin50°)=cos50°/(sin10°+cos20°)
=cos50°/(sin10°+sin70°)=cos50°/(2sin40°*cos30°)
=1/√3.
∴∠ACD=30°.
因此∠BCD=∠ACB-∠ACD=40°-30°=10°.
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