问题: 请教一个不等式
设x,y,z∈R+,试证
(x^2+2)*(y^2+2)*(z^2+2)≥3(x+y+z)^2
解答:
证明 对于三个正实数x,y,z,总存在两个数不大于1或不小于1,
不妨设x,y不大于1[或者不小于1也可] ,那么
(x^2-1)*(y^2-1)≥0
<====> (xy)^2-x^2-y^2+1≥0
<====> (x^2+2)*(y^2+2)≥3(x^2+y^2+1) (1)
由柯西不等式得:
(z^2+2)*(x^2+y^2+1)= (1+1+z^2)*(x^2+y^2+1)≥(x+y+z)^2. (2)
因此
(x^2+2)*(y^2+2)*(z^2+2)≥3(x^2+y^2+1)*(z^2+2)≥3(x+y+z)^2.
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