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问题: 圆锥曲线

双曲线:x^2/(9-k)+y^2/(4-k)=1与直线y=x+1有公共点,1)求其中实轴最长的双曲线方程.2)是否能作出过点P(3,1)的直线l,使得直线l截双曲线的弦AB被点P平分?

解答:

(1) 把y=x+1代入双曲线方程,得(13-2k)x²+2(9-k)x+(9-k)(k-3)=0,由判别式△≥0,得(k-9)(k-4)(k-6)≤0, ∵ 9-k≠0,4-k≠0,
∴ k<4或6≤k<9. ∴ k=6时,实轴最长.a²=9-6=3, b²=4-3=1.于是
双曲线方程为x²-3y²=3.
(2) 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1²-3y1²=3, x2²-3y2²=3.相减得,
(x1+x2)-3(y1+y2)·(y1-y2)/(x1-x2)=0, 若能作出过点P(3,1)的直线l,使得直线l截双曲线的弦AB被点P平分,则x1+x2=6,y1+y2=2,
∴ AB的斜率=(y1-y2)/(x1-x2)=1, ∴ 直线:y=x-2为所求.