1、比较 3开5次方 与 5开3次方 的大小
2、在R上定义运算◎：x◎y=x(1-y),
若不等式（x-a）◎(x+a)＜1对任意实数x成立，
求a的取值范围。
3、设不等式mx^2 -2x-m+1＜0对于满足|m|≤2的一
切m 的值都成立，求x的取值范围。

（1）比较“3开5次方”与“5开3次方”的大小。

解：3^(1/5)＜5^(1/5)＜5^(1/3)。

（2）在R上定义运算◎：x◎y=x(1-y),
若不等式（x-a）◎(x+a)＜1对任意实数x成立，
求a的取值范围。

解：（x-a）◎(x+a)＜1对任意实数x成立，
等价于(x-a)(1-x-a)＜1对任意实数x成立，
即x^2-x+a-a^2＞1对任意实数x成立，
或(x-1/2)^2-(a-1/2)^2＞1对任意实数x成立，

这是不可能的，所以a的取值范围是空集。

（3）设不等式mx^2 -2x-m+1＜0对于满足|m|≤2的一
切m 的值都成立，求x的取值范围。

解：

①若m=0，则A1={x＞1/2}；

②若-2≤m＜0，则不等式mx^2 -2x-m+1＜0成立范围为
A2={x＜[1+√(m^2-m+1)]/m}∪{x＞[1-√(m^2-m+1)]/m}；

③若0＜m≤2，则不等式mx^2 -2x-m+1＜0成立范围为
A3={x＜[1+√(m^2-m+1)]/m}∩{x＞[1-√(m^2-m+1)]/m}.


现在必须求出A1∩A2∩A3。
先求A1∩A2，A1∩{x＜[1+√(m^2-m+1)]/m}=空集，
A1∩{x大于[1-√(m^2-m+1)]/m}=A1。

所以A1∩A2∩A3=A1∩A3
A1∩{x大于[1-√(m^2-m+1)]/m}=A1，
最后看A1∩{x＜[1+√(m^2-m+1)]/m}，
关键是求出g(m)=[1+√(m^2-m+1)]/m在0＜m≤2的最小值，
因为g(m)在0＜m≤2上单调减，
所以最小值为g(2)=(1+√3)/2.

【结论】解集为1/2＜x＜(1+√3)/2