如图，在三角形ABC中，角CAB=90度，BD平分角CBA，AG垂直BC，且BD、AG相交于点E，DF垂直BC于F
求证：四边形AEFD为菱形

证法一：在Rt△ABD和Rt△FBD中，

　　∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠FBD，∠DAB=∠DFB=90°，

　　又∵BD=BD，∴Rt△ABD≌Rt△FBD

　　∴AD=DF，∠ADE=∠EDF

　　又∵DF⊥BC，AG⊥BC，∴DF//AE，

　　∴∠EDF=∠DEA，∴∠ADE=∠DEA，∴AD=AE，

　　∴AE=DF，∴四边形AEFD是平行四边形．

　　∵AD=DF，∴四边形AEFD为菱形．

　　证法二：同证法一得DF=DA=AE，

　　∵Rt△ABD≌Rt△FBD，∴AB=BF，∴△ABE≌△FBE，

　　∴AE=EF，∴DF=DA=AE=EF，∴四边形AEFD是菱形．

　　证法三：同证法一：Rt△ABD≌Rt△FBD，∴AB=BF，

　　∴△ABE≌△FBE，∴∠GAB=∠EFB，

　　又∵∠C+∠ABC=90°，∠GAB+∠ABC=90°，

　　∴∠C=∠GAB，∴∠C=∠EFB，∴EF∥AC，

　　又∵DF∥AG，∴四边形AEFD是平行四边形，

　　∵AD=DF，∴四边形AEFD是菱形．

　　4．∵AD∥BC，∴∠OAE=∠OCF，又∵∠AOE=∠COF=90°，AO=CO，

　　∴△AOE≌△COF，∴AE=CF，又∵AE∥CF，

　　∴四边形AFCE是平行四边形．

　　又∵EF是AC的垂直平分线，∴AE=CE．（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）

　　∴四边形AFCE是菱形．