word版的2009年西城区一模题，可编辑的版

北京市西城区2009年抽样测试
初三数学试卷 2009.5
学校 姓名

考生须知 1． 本试卷共4页，共五道大题，25道小题，满分120分，考试时间120分钟。
2． 在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和准考证号。
3． 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4． 考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）
1.-2的相反数等于
A. 2 B. -2 C. D.

2.2009年，全国普通高校本、专科共计划招生6 290 000人，将6 290 000用科学记数法表示应为
A. B. C. D.

3.右图是由五个相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图是



A. B. C. D.

4. 若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为
A.5 B. 6 C. 7 D. 8

5.2004～2008年社会消费品零售总额及增长
速度情况如右图所示，那么社会消费品零
售总额比上年增长最快的年份是
A. 2005年 B. 2006年
C. 2007年 D. 2008年

6．如图，AB∥DF， AC⊥BC于C，BC与DF交于点E，
若∠A= 20°，则∠CEF等于
A. 110° B. 100°
C. 80° D. 70°
7.如图，在边长为1的等边三角形ABC中，若将两条含 圆心角的
、 及边AC所围成的阴影部分的面积记为S，则S与△ABC
面积的比等于
A. B. C. D.

8．若m、n（m<n）是关于x的方程 的两根，且a < b，
则a、b、m、n 的大小关系是
A. m < a < b< n B. a < m < n < b
C. a < m < b< n D. m < a < n < b

二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）
9. 在函数 中，自变量x的取值范围是 ．
10. 若 ，则 的值等于 ．
11. 如图，△ABC中，∠ABC的平分线交AC于E，BE⊥AC，
DE∥BC交AB于D，若BC=4，则DE = .
12. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC＜AC，若 ，则∠A= °．

三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．计算： .
14．解不等式组 在数轴上表示它的解集，求它的整数解.


15．已知：如图，△ABC中，AB=AC，BC为最大边，点D、
E分别在BC、AC上，BD=CE，F为BA延长线上一点，
BF=CD .
求证：∠DEF=∠DFE .

16．解方程： .

17．已知抛物线 经过点 ，求抛物线与x轴交点的坐
标及顶点的坐标．

18．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，
AB=AD=2，∠A=60°，BC=4，求CD的长．


四、解答题（本题共20分，第19题5分，第20题5分，第21题6分，第22题4分）

19．已知：如图，AB为⊙O的弦，过点O作AB的平行线，交
⊙O于点C，直线OC上一点D满足∠D=∠ACB.
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若⊙O的半径等于4， ，求CD的长.

20．有三个完全相同的小球，上面分别标有数字1、 2、 3，将其放入一个不透明的盒子中摇匀，再从中随机摸球两次（第一次摸出球后放回摇匀），设第一次摸到的球上所标的数字为m，第二次摸到的球上所标的数字为n，依次以m、n作为点M的横、纵坐标．
（1）用树状图（或列表法）表示出点M 的坐标所有可能的结果；
（2）求点M 在第三象限的概率．

21．某运输公司用10辆相同的汽车将一批苹果运到外地，每辆汽车能装8吨甲种苹果，
或10吨乙种苹果，或11吨丙种苹果．公司规定每辆车只能装同一种苹果，而且必须
满载．已知公司运送了甲、乙、丙三种苹果共100吨，且每种苹果不少于一车．
（1）设用x辆车装甲种苹果，y辆车装乙种苹果，求y与x之间的函数关系式，并写
出自变量x的取值范围；
（2）若运送三种苹果所获利润的情况如下表所示：
苹果品种 甲 乙 丙
每吨苹果所获利润（万元） 0.22 0.21 0.2
设此次运输的利润为W（万元），问：如何安排车辆分配方案才能使运输利润W
最大，并求出最大利润．

22．已知：如图，△ABC中， AC＜AB＜BC．
（1）在BC边上确定点P的位置，使∠APC=∠C．请画
出图形，不写画法；
（2）在图中画出一条直线l，使得直线l分别与AB、BC边
交于点M、N，并且沿直线l将△ABC剪开后可拼成
一个等腰梯形．请画出直线l及拼接后的等腰梯形，并
简要说明你的剪拼方法．
说明：本题只需保留作图痕迹，无需尺规作图．






五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）
23．已知：反比例函数 和 在平面直角坐标
系xOy第一象限中的图象如图所示，点A在
的图象上，AB∥y轴，与 的图象交于点B，
AC、BD与x轴平行，分别与 、 的图象
交于点C、D.
（1）若点A的横坐标为2，求梯形ACBD的对角线的交点F的坐标；
（2）若点A的横坐标为m，比较△OBC与△ABC的面积的大小，并说明理由；
（3）若△ABC与以A、B、D为顶点的三角形相似，请直接写出点A的坐标.

24．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线 与x轴、y轴的交点分
别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C.
（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四
边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出
的取值范围.









25．已知： ， ，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB
的两侧.
（1）如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长；
（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD 的
最大值，及相应∠APB的大小.







北京市西城区2009年抽样测试
初三数学试卷答案及评分参考 2009.5
阅卷须知：
1.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
2.若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分。
一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C B D D A B A
二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）
题号 9 10 11 12
答案
1 2 15
三、解答题（本题共30分 ，每小题5分）
13．解：
= - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -4分
= ． - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5分
14．解：
由①得x≥1． - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -1分
由②得 ． - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -2分
不等式组的解集在数轴上表示如下：


- - - - - - - - - - - - - - - - 3分
所以原不等式组的解集为1≤x＜5．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4分
所以原不等式组的整数解为1，2，3，4．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5分
15．证明：如图1，
∵ AB=AC ，
∴ ∠B=∠C ．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -1分
在△BDF和△CED中，

∴ △BDF≌△CED ． - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3分
∴ DF = ED．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4分
∴ ∠DEF=∠DFE．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5分
16．解：去分母，得 .- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -1分
去括号，得 .- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -2分
整理，得 . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3分
解得 . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4分
经检验， 是原方程的解. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5分
17．解：∵ 抛物线 经过 点，
∴ ．
整理，得 ．
解得 ．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1分
∴ 二次函数的解析式为 ． - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -2分
令 ，可得 ．
解得 ． - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -3分
∴ 抛物线与x轴的交点坐标为 ．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -4分
∵ ，
∴ 抛物线的顶点坐标为（3，1）． - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -5分
18．解：连结BD，作DE⊥BC于点E．（如图2）- - - - 1分
∵ AB=AD =2 ，∠A=60°，
∴ △ABD为等边三角形，BD =2，∠ADB=60°．
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2分
∵ AD∥BC ，
∴ ∠DBC=60°．- - - - - - - - - - - - - - - - - - 3分
在Rt△BDE中，∠BED=90°，∠DBE=60°，
∴ ． - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4分
在Rt△CDE中，∠CED=90°， ，
∴ ．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5分
解法二：作DE∥AB交BC于E，作EF⊥CD于F ．
解法三：连结BD，并延长BA、CD交于E．
四、解答题（本题共20分，第19题5分，第20题5分，第21题6分，第22题4分）
19．解：（1）直线BD与⊙O相切．
证明：如图3，连结OB．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1分
∵ ∠OCB=∠CBD +∠D ，∠1=∠D，
∴ ∠2=∠CBD．
∵ AB∥OC ，
∴ ∠2=∠A ．
∴ ∠A=∠CBD．
∵ OB=OC，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ∠OBD=90°．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -2分
∴ 直线BD与⊙O相切． - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3分
（2）解：∵ ∠D=∠ACB ， ，
∴ ．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4分
在Rt△OBD中，∠OBD=90°，OB = 4， ，
∴ ， ．
∴ ．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5分
20．解：（1）组成的点M 的坐标的所有可能性为：




或列表如下：
第一次
第二次　 1 -2 -3
1 (1,1) (-2,1) (-3,1)
-2 (1,-2) (-2,-2) (-3,-2)
-3 (1,-3) (-2,-3) (-3,-3)
- - - - - - - - - - - - - - - 3分
（2）落在第三象限的点有 ，因此点M落在第三象限的
概率为 ． - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5分
21．解：（1）∵ ，- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -1分
∴ y与x之间的函数关系式为 ．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2分
∵ y≥1，解得x≤3．
∵ x≥1， ≥1，且x是正整数，
∴ 自变量x的取值范围是x =1或x =2或x =3．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3分
（2） ．- - - - - - - - - - - - - 4分
因为W随x的增大而减小，所以x取1时，可获得最大利润，
此时 （万元）．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5分
获得最大运输利润的方案为：用1辆车装甲种苹果，用7辆车装乙种苹果，2辆车装丙种苹果． - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -6分
22．解：（1）答案见图4（任选一种即可）．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -2分
（2）答案见图5．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -3分
剪拼方法：取AB的中点M，过点M作AP的平行线l，与BC交于点N ，过点A作BC的平行线，与l交于点H，将△BMN绕点M顺时针旋转180°到△AMH，则四边形ACNH为拼接后的等腰梯形． - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -4分









五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）
23．解：（1）如图6，当点A的横坐标为2时，点A、B、C、D的坐标分别为 .- - - - - - - - - - - - - - - - - - -1分
解一：直线CD的解析式为 .- - - - - - -2分
∵ AB∥y轴，F为梯形ACBD的对角线的交点，
∴ x=2时， .
∴ 点F的坐标为 .- - - - - - - - - - - - - 3分
解二： .
∵ 梯形ACBD，AC∥BD，F为梯形ACBD的对角线的交点，
∴ △ACF∽△BDF.
∴ .
∴ ， ，点F的纵坐标为 .- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -2分
∴ 点F的坐标为 .- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3分
（2）如图7，作BM⊥x轴于点M．作CN⊥x轴于点N．当点A的横坐标为m时，点A、
B、C、D的坐标分别为 .
.- - - - - - - - - - - - 4分

- - - - - - 5分
∴ . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6分
（3）点A的坐标为 . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7分
24．解：（1）点C的坐标为 .- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1分
∵ 点A、B的坐标分别为 ，
∴ 可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为 .
将 代入抛物线的解析式，得 . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -2分
∴ 过A、B、C三点的抛物线的解析式为 .- - - - - - - - - - - - -3分
（2）可得抛物线的对称轴为 ，顶点D的坐标为
，设抛物线的对称轴与x轴的交点为G.
直线BC的解析式为 .- - - - - - - - - - 4分
设点P的坐标为 .
解法一：如图8，作OP∥AD交直线BC于点P，
连结AP，作PM⊥x轴于点M.
∵ OP∥AD，
∴ ∠POM=∠GAD，tan∠POM=tan∠GAD.
∴ ，即 .
解得 . 经检验 是原方程的解.
此时点P的坐标为 . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -5分
但此时 ，OM＜GA.
∵
∴ OP＜AD，即四边形的对边OP与AD平行但不相等，
∴ 直线BC上不存在符合条件的点P. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6分
解法二：如图9，取OA的中点E，作点D关于点E的对称点P，作PN⊥x轴于
点N. 则∠PEO=∠DEA，PE=DE.
可得△PEN≌△DEG ．
由 ，可得E点的坐标为 .
NE=EG= ， ON=OE－NE= ，NP=DG= .
∴ 点P的坐标为 . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5分
∵ x= 时， ，
∴ 点P不在直线BC上.
∴ 直线BC上不存在符合条件的点P .- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6分










（3） 的取值范围是 . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8分
说明：如图10，由对称性可知QO=QH， .当点Q与点B重合时，Q、H、A三点共线， 取得最大值4（即为AH的长）；设线段OA的垂直平分线与直线BC的交点为K，当点Q与点K重合时， 取得最小值0.
25．解：（1）①如图11，作AE⊥PB于点E． - - - - - - - - - - - - -1分
∵ △APE中，∠APE=45°， ，
∴ ，
．
∵ ，
∴ ．- - - - - - - - - - - - - - - - - - 2分
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，
∴ ．- - - - - - - - - - - - -3分
②解法一：如图12，因为四边形ABCD为正方形，可将
△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△ ，
可得△ ≌△ ， , ．
∴ =90°， =45°， =90°．
∴ ．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4分
∴ ．- - - - - - - - - - - - - -5分
解法二：如图13，过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，设DA的
延长线交PB于G．
在Rt△AEG中，可得
，
， ．
在Rt△PFG中，可得 ， ．
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4分
在Rt△PDF中，可得
．
- - - - - - - - - - - - - - - - -5分
（2）如图14所示，将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△ ， PD 的最大值即为 的最大值.
∵ △ 中， ， ， ，
且P、D两点落在直线AB的两侧，
∴ 当 三点共线时， 取得最大值（见图15）.
此时 ，即 的最大值为6.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6分
此时∠APB=180°－ =135°.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7分