设x+y=k,x,y为正实数，试求k的取值范围，使不等式:
(x+1/x)*(y+1/y)≥(k/2+2/k)^2
恒成立。

设x+y=k,x,y为正实数，试求k的取值范围，使不等式:
(x+1/x)*(y+1/y)≥(k/2+2/k)^2 (A)
恒成立。


解 当x=y时，不等式(A)恒成立。此时k可取任意正数。
当x≠y时，不妨设x>y，令m=k/2，x=m+t，y=m-t，这里0<t<m。
于是不等式(A)可写为:
[m+t+1/(m+t)]*[m-t+1/(m-t)]≥(m+1/m)^2 (1)
(1)式化简得:
t^2*[t^2*m^2-(m^4-4m^2-1)]≥0. 即
t^2≥(m^4-4m^2-1)/m^2 (2)
注意到m>t>0，故欲使(2)式恒成立，当且仅当
(m^4-4m^2-1)/m^2≤0,
<==> m^4-4m^2-1≤0
解得:m^2≤2+√5, <==> m≤√(2+√5).
综上所述, 有 0<m≤√(2+√5).
从而 0<k≤2√(2+√5). 即为所求。