在四边形ABCD中，AB=3，AD=DC=4,∠A=120°，BD平分∠ABC，那么，四边形ABCD的面积为多少？请给出详解

在四边形ABCD中，AB=3，AD=DC=4,∠A=120°，BD平分∠ABC，那么，四边形ABCD的面积为多少？

这个题目有两个答案！
如图，先以D为圆心，4为半径作圆。在圆D上任取一点A，则AD=r=4.连接DA，过点A作射线AB，使得∠BAD=120°，且在射线上截取线段AB=3.连接BD，过点B作射线BC，使得∠CBD=∠ABD，射线BC交圆D于点C1、C2，则C1D=C2D=r=4
则，四边形ABC1D和四边形ABC2D均满足题目条件

过点D作AB所在直线的垂线，垂足为E
因为∠DAB=120°，所以：∠DAE=60°
那么，在Rt△DEA中，∠ADE=30°，AD=4
所以，AE=2，DE=2√3
则，在Rt△DEB中，DE=2√3，BE=AE+AB=2+3=5
所以，BD=√37
且，cos∠2=cos∠DBE=BE/BD=5/√37
所以，cos∠1=5/√37
那么，在△BCD中，设BC=x，由余弦定理得到：
CD^2=BD^2+BC^2-2*BD*BC*cos∠1
即：16=37+x^2-2*√37*x*(5/√37)=37+x^2-10x
所以：x^2-10x+21=0
即：(x-3)(x-7)=0
所以，x1=3、x2=7
①
当BC=x1=3时，因为：BC1=AB=3，∠1=∠2，BD边公共
所以，△BAD≌△BC1D
那么，四边形ABC1D的面积=2*S△ABD
而，S△ABD=(1/2)*BE*DE=(1/2)*5*2√3=5√3
所以，四边形ABC1D的面积=2*5√3=10√3
②
当BC=x2=7时，四边形ABC2D的面积=四边形ABC1D的面积+S△DC1C2
=10√3+S△DC1C2
而在△DC1C2中，DC1=DC2=4，C1C2=BC2-BC1=7-3=4
所以，△DC1C2为等边三角形
所以，S△DC1C2=(1/2)*C1C2*[DC1*(√3/2)]=(√3/4)*4*4=4√3
所以，四边形ABC2D的面积=10√3+4√3=14√3
综上：
四边形ABCD的面积为10√3或者14√3