设R表示△ABC的外接圆半径,r表示△ABC的内切圆半径,BC=a,CA=b,AB=c,2s=a+b+c. 求证
(4R+r)^2≥s^2*[(a+b)/(b+c)+(b+c)/(c+a)+(c+a)/(a+b)].

是不等式:(4R+r)^2≥3s^2的加强.

设R表示△ABC的外接圆半径,r表示△ABC的内切圆半径,BC=a,CA=b,AB=c,2s=a+b+c. 求证
(4R+r)^2≥s^2*[(a+b)/(b+c)+(b+c)/(c+a)+(c+a)/(a+b)].

<===>
[r(4R+r)]^2*∏(b+c)≥(sr)^2*∑(a+b)^2*(c+a)

令a=y+z,b=z+x,c=x+y.则
(rs)^2=xyz(x+y+z),r(4R+r)=yz+zx+xy.
将其代入上式,化简得:
expand((2*x+y+z)*(2*y+z+x)*(2*z+x+y)*(x*y+y*z+z*x)^2-x*y*z*(x+y+z)*((2*x+y+z)^2*(2*y+z+x)+(2*y+z+x)^2*(2*z+x+y)+(2*z+x+y)^2*(2*x+y+z)));

2∑x^5*(y^2+z^2)+7∑x^4*(y^3+z^3)-3xyz∑x^5+xyz∑(yz)^2
-9(xyz)^2*∑x-4xyz∑x^3*y-3xyz∑x^3*z≥0

<===> ∑x^4*(2x+7y+7z)*(y-z)^2+
xyz[∑x^4+3∑x^3*y+4∑x^3*z+∑(yz)^2-9xyz∑x]≥0

∵∑x^4+∑(yz)^2≥2xyz∑x
∑x^3*z≥xyz∑x
∑x^3*y≥xyz∑x.
所以上式成立.