已知ABCDEF是凸六边形，且AB=BC,CD=DE,EF=FA。
求证:BC/BE+DE/DA+FA/FC>=3/2.

已知ABCDEF是凸六边形，且AB=BC,CD=DE,EF=FA。
求证:BC/BE+DE/DA+FA/FC>=3/2.

证明 记AC=a,CE=b,AE=c。
对四边形ACEF运用Ptolemy不等式得:
AC*EF+CE*AF≥CF*AE，
<==> a*EF+b*AF≥CF*c
因为EF=AF，所以
FA/CF≥c/(a+b);
同理可得
DE/DA≥b/(c+a);
BC/BE≥a/(b+c).
故有
BC/BE+DE/DA+FA/FC≥a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b) ， (1)
所以欲证
BC/BE+DE/DA+FA/FC≥3/2. (2)
只需证
a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)≥3/2 (3)
根据柯西不等式得
[a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)]*[ a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)]≥(a+b+c)^2
<===>
2(a+b+c)^2≥3[a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)]
<==> (b-c)^2+(c-a)^2+(a-b)^2≥0,
显然成立.易验证当正六边形时等号成立。