http://edu.qq.com/a/20080607/000446_10.htm ★★★★★★我来说说这题思路，你看对不对。把aX与f(X)合在一起求导，如果f(X)在前，则求导应＜0，为减函数，并且＜最大值0，就得到f(X)-aX＜0了，所以这就结束了。★★★★★★☀①可这答案不懂，从 a-﹛(2cosX+1)/(2+cosX)²﹜后边那步是怎么来的，怎么会想到那么变？☀② 还有讨论0＜a＜1/3时，h(X)=sinX-3aX从哪来的？有点晕 ☀③h′﹙X﹚=cosX-3a,当X∈[0，arccos3a﹚时h′﹙X﹚＞0不明白

按你的思路作：
令g(x)=f(x)-ax--->g'(x)=(2cosx+1)/(2+cosx)²-a......x≥0
你认为应令g'(x)≤0(这时可以推出a≥1/3)
这样g(x)单调减,又g(0)=0,则得出g(x)≤0

但是，这只是充分条件，而不是必要条件
即：存在第二种情况，可以使g(x)≤0
那就是：即使g'(x)有正有负，g(x)有增有减，但①只要g(x)的极大值g(x0)≤0，原结论同样成立，这样就可能漏掉a的部分取值
就是说以上得出的a≥1/3并不全面

而原答案的后半部分正是排除以上的第二种可能
即：0＜a＜1/3和a≤0时，都有f(x)＞ax
只有这样，才能确定答案是a≥1/3

至于疑问①②③，只是解题技巧：
①：要求 k=(2cosx+1)/(2+cosx)² 的极大值K
令：1/(2+cosx)=t--->cosx=1/t-2
k = [2(1/t-2)+1]t² = 2t-3t² = -3(t-1/3)²+1/3 ≤1/3
--->K=1/3 ，显然a≥K=1/3时，g'(x)≤0

②：为了要证f(x)＞ax（排除0＜a＜1/3的可能）
即：sinx/(2+cosx)＞sinx/3＞ax
需证：sinx＞3ax，可以令h(x)=sinx-3ax......
③：为了要使h(x)=sinx-3ax＞0=h(0)
需要h(x)为增，即h'(x)=cosx-3a≥0--->0≤x≤arccos3a

把②③倒看回去就明白了：
如果0＜a＜1/3，那么0≤x≤arccos3a时h(x)＞0--->f(x)＞ax
即：x≥0时不能保证有f(x)≤ax，这样就排除了0＜a＜1/3的可能