问题: 解析几何--抛物线
设抛物线:y^2=2px (p>0) 上有两点A,B，抛物线:y^2=2px与线段AB围成的抛物线弓形面积为S，过A,B分别作切线两切线交点N，设三角形ANB面积为Δ。求证:3S=2Δ.
解答:
简答：
设A(x1,y1),B(x2,y2),AB方程：y=y1+[2p/(y1+y2)](x-x1)
抛物弓形面积=(x1,x2)∫{√(2px)-y1-[2p/(y1+y2)](x-x1)}dx
也等于(y1,y2)∫{y^2/(2p)-x1-[(y1+y2)/(2p)](y-y1)}dy
={y^3/(6p)-y1^2y/(2p)-[(y1+y2)/(4p)][y^2-2y1y]}(y1,y2)
=[|y1-y2|/(2p)][(y1^2+y1y2+y2^2)/3-y1^2-(y1+y2)(y2-y1)/2]
=|y1-y2||-y1^2/6+y1y2/3-y2^2/6|/(2p)
=|y1-y2|^3/(6p)
抛物线在A,B的切线为：y-y1=(p/y1)(x-x1),y-y2=(p/y2)(x-x2)
交点为(y1y2/2p,(y1+y2)/2)，AB边的中线的斜率正好为0，
三角形的面积=|y1-y2|×中线长/2=|y1-y2|^3/(4p)
所以有3S=2Δ
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