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问题: 已知函数f(x) =x^2+alnx.

已知函数f(x) =x^2+alnx.若g(x)=f(x)+2/x在[1,正无穷)上是单调增函数,求实数a的取值范围

解答:

已知函数f(x) =x^2+alnx.若g(x)=f(x)+2/x在[1,正无穷)上是单调增函数,求实数a的取值范围

g(x)=f(x)+(2/x)=x^2+alnx+(2/x)
所以:g'(x)=2x+(a/x)-(2/x^2)=(2x^3+ax-2)/x^2
因为x∈[1,+∞),所以:x^2>0
则,令h(x)=2x^3+ax-2
要满足g(x)在[1,+∞)上是单调增函数,则g'(x)在该区间上大于零,亦即函数h(x)在该区间上的最小值大于零
h'(x)=6x^2+a
h''(x)=12x>0
所以,h'(x)为单调增函数
所以,h'(x)在[1,+∞)上的最小值为h'(1)=6+a
所以,6+a>0
则,a>-6